Trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche sono operazioni che prendono in input un oggetto e ne modificano posizione orientazione e dimensione (ovvero la geometria dello stesso)

Ma cos'e' un oggetto 3D?

Oggetto 3D

Un oggetto 3D e un elemento di uno spazio cartesiano tridimensionale con sistema di riferimento destrorso descritto dalle coordinate dei suoi vertici

Trasformazioni bidimensionali

Di seguito le trasformazioni bidimensionali di base

TRASFORMAZIONE	DESCRIZIONE	OPERAZIONE MATRICIALE IN AMBIENTE 2D
TRASLAZIONE	modifica le coordinate dei vertici per far si che l’oggetto si trovi in una posizione diversa nel sistema di riferimento	$\left[\begin{array}{c}{p}_x^{{}^{\prime }}\\ p_y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\end{array}\right]$
SCALA	varia le dimensioni dell’oggetto	$\left[\begin{array}{c}{p}_x^{{}^{\prime }}\\ p_y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\end{array}\right]$
ROTAZIONE	Rotazione rispetto all’origine degli assi	$\left[\begin{array}{c}{p}_x^{{}^{\prime }}\\ p_y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sin(\theta )\\ sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\end{array}\right]$

Trasformazione lineare

Dall’algebra, una trasformazione lineare in uno spazio vettoriale a 3 dimensioni può essere descritta come segue

$$\left[\begin{array}{c}{u}_x^{{}^{\prime }}\\ u_y^{{}^{\prime }}\\ u_z^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]$$

Trasformazione affine

Una trasformazione affine e una trasformazione lineare seguita da una traslazione

$$\left[\begin{array}{c}{u}_x^{{}^{\prime }}\\ u_y^{{}^{\prime }}\\ u_z^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\delta }_x\\ {\delta }_y\\ {\delta }_z\end{array}\right]$$

Spazio affine

Per permettere la rappresentazione in uno spazio vettoriale dei punti si introduce lo spazio affine, con le seguenti operazioni aggiuntive:

• $q=p+v$ con $p$ punto e $v$ vettore
• $u=q-p$
• $v=p-q$

l'operazione punto + punto non e' definita

Combinazione affine

combinazione lineare che prende in input dei punti e restituisce in output dei punti in cui i coefficienti hanno somma $1$

$$p=a_1{p}_1+a_2{p}_2+a_3{p}_3+...a_n{p}_{n}con$$ $$a_1+a_2+a_3+...a_n=1$$

nel caso in cui $a_i\in [0-1)\forall i$ allora si parla di combinazione convessa

Sistema di riferimento in uno spazio affine (frame)

per rappresentare in maniera non ambigua punti e vettori si definisce un sistema di riferimento (coordinate omogenee) dove viene eletta una quadrupla $<v1,v2,v3,\Theta >$ dove:

• $<v1,v2,v3>$ sono una base vettoriale dello spazio
• $\Theta$ e il punto di origine

si ha di conseguenza che i vettori sono rappresentati dalla tripletta delle coordinate $v=a_1{v}_1+a_2{v}_2+a_3{v}_3$, mentre un punto e rappresentato considerando anche il punto di origine $p=a_1{v}_1+a_2{v}_2+a_3{v}_3+O$

Si ottiene di conseguenza uno spazio dove punti e vettori sono caratterizzati da quadruple (dove il 4 elemento ammette solo valori $0/1$), e possono essere rappresentati dal prodotto tra la quadrupla di origine e il vettore delle coordinate

$$punto/vettore=\left[\begin{array}{cccc}{v}_{1,1}& v_{1,2}& v_{1,3}& 0\\ v_{2,1}& v_{2,2}& v_{2,3}& 0\\ v_{3,1}& v_{3,2}& v_{3,3}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\\ 0/1\end{array}\right]$$

in questa rappresentazione i vettori non mostrano nella 4 riga il valore $0$ in modo da annullare il punto originario

Trasformazioni affini in spazi affini

Per mezzo della rappresentazione in coordinate omogenee le trasformazioni affini diventano tutte trasformazioni lineari

$$\left[\begin{array}{c}{u}_x^{{}^{\prime }}\\ u_y^{{}^{\prime }}\\ u_z^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{c}{u}_x\\ u_y\\ u_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\delta }_x\\ {\delta }_y\\ {\delta }_z\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{p}_x^{{}^{\prime }}\\ p_y^{{}^{\prime }}\\ p_z^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& d_x\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& d_y\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& d_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\\ 1\end{array}\right]$$

I vantaggi di poter utilizzare trasformazioni lineari sono molteplici, si può ottimizzare la computazione sfruttando le proprietà di linearità, inoltre le trasformazioni possono essere combinate in un unica matrice che può essere applicata in più punti

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